Integralin löytäminen: $ \ lim_ {n \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 07/31/2017. 3 answers, 492 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Oletetaan, että $ f: [a, b] \ on \ mathbb {R} $ on jatkuva. Määritä, onko seuraava raja olemassa

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Koska $ f (x) $ ja $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ ovat jatkuvia, niin niiden tuote Riemann on integroitavissa. Kuitenkin $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ ei ole olemassa, joten se ei ole yhdenmukaista lähentymistä, emmekä voi ylittää rajaa integraalin sisällä. Se ei myöskään täytä Dini-teorian ehtoja. En tiedä, miten pätevä argumentti tähän ongelmaan, mutta ajattelen, mitä sanoin raja ei ole olemassa. Arvostan apua.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue-lemma . Huomaa, että $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Kiitos, mielestäni voin tehdä sen nyt
Teepeemm 07/31/2017
Se näyttää olevan edistyksellisempi kuin ongelma vaatii.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Erilainen tapa ratkaista tämä on käyttää seuraavaa havaintoa.

Proposition. Jos $ f: [a, b] \ mathbb {R} $ on jatkuva, $ g: \ mathbb {R} \ mathbb {R} $ on jatkuva ja $ L $ -periodinen,

(x) \, dx = \ left (\ int_ {a} ^ {b} f (x) \, $ \ lim_ {n} \ infty} \ int_ {a} dx \ oikealle) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ oikealle). $$

  1. Olettaen tämän lausunnon vastaus seuraa välittömästi, koska $ x \ mapsto \ sin ^ 3 x $ on $ 2 \ pi $ -periodinen ja

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuition on hyvin selkeä: Jos $ n $ on hyvin suuri, niin subintervalissa $ [c, c + \ frac {L} {n}] \ osajoukko [a, b] $

    \ frac {L} {c} \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Joten yksityiskohtien huomiotta jättäminen olisi meille

    (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ left $ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right) $ $ (\ frac {k} {n} \ right) \ frac {1} {n}

    ja kun raja on $ n \ to \ infty $, oikea puoli konvergoi haluttuun arvoon. Tiedot täyttämällä on melko rutiinia.

  3. Oletus jatkuvuudesta on vain tekninen asetus yksinkertaisille todisteille, ja voit rentoutua tietyissä asteissa maksamalla enemmän työtä.


Michael Hartley 07/31/2017.

Et voi päättää, että $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_a ^ bg (x, n) dx $$ ei ole olemassa vain koska $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, n ) $$ ei. Esimerkiksi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ ei ole olemassa, mutta $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ koska integraali on nolla kaikille $ n $.

Pelkäänpä, että hyödyllisyys loppuu tässä vaiheessa, vaikka luulen, että raja on olemassa: sinun ei pitäisi löytää muuta epsilon-delta-argumenttia, joka ilmaisee integraalin kokonaislukumäärän joukosta $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Tämä voi olla erittäin huono tapa ratkaista ongelma.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags