Toiminnot, jotka ovat aina pienempiä kuin niiden johdannaiset

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Mietin, onko olemassa toimintoja, joiden $ f '(x)> f (x) $$ kaikille $ x $. Ainoat esimerkit, joita voisin ajatella olivat $ e ^ x - c $ ja yksinkertaisesti $ - c $, jossa $ c> 0 $. Onko myös merkitystä funktiossa, joka on aina pienempi kuin sen johdannainen?


Muokkaa: Paljon kiitoksia kaikista vastauksista. Näyttää siltä, ​​että lähes kaikki sovellettavat toiminnot ovat luonteeltaan eksponentiaalisia ... Onko olemassa muita esimerkkejä, kuten - 1 / x?

Onko näillä toiminnoilla edelleen sovelluksia / fyysisiä ilmentymiä? [esimerkiksi objekti, jonka nopeus on aina suurempi kuin sen sijainti / kiihtyvyys on aina suurempi kuin sen nopeus]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Päältä pään päältä, minkä tahansa rajatun, monotonisesti kasvavan toiminnon alhaisessa puolitasossa.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Ixionin vastaus antaa täydellisen, yleisluontoisen ratkaisun (vaikka jotkut tietyn ratkaisun perheet saattavat olla kirjoitettavissa kauniimpiin muotoihin), ja ne olisi hyväksyttävä.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Mutta korjaa otsikko, muuttamalla "sen" ja "niiden". Se, miten otsikko on kirjoitettu, näytti hetkiltä, ​​että harkitsit kaikkien tilausten johdannaisia. Ja nyt olen utelias tämän sivukysymyksen suhteen, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Jos $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $, voimme määrittää $ f (x) = y' (x) -y (x) $, joka on positiivinen forall $ x $. Oletetaan, että $ y '(x) $ on jatkuva funktio, joten $ f (x) $ on jatkuva. Nyt tämän elementin avulla voimme rakentaa differentiaaliyhtälön $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ ja sen ratkaisut saadaan: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (t) ds \ oikealla) $$

Onko näillä toiminnoilla edelleen sovelluksia / fyysisiä ilmentymiä? [esimerkiksi objekti, jonka nopeus on aina suurempi kuin sen sijainti / kiihtyvyys on aina suurempi kuin sen nopeus]

En tiedä onko tämän mielenkiintoisen omaisuuden soveltaminen, mutta olen varma, että nopeutta ei voida verrata sijaintiin, koska ne eivät ole homogeenisiä määriä.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Olettaen, että $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f (x) \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Joten voit muuntaa funktion $ g $ missä $ g '(x)> 1 $ tämäntyyppiseen funktioon ottamalla sen eksponentiaali:

$ \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x)})> 1 \ merkitsee \ frac {d} {dx} e ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Oletetaan $ f (x)> 0 $ alussa
2 MPW 07/28/2017
@HagenvonEitzen: Sitten hän voisi käyttää $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ lähtökohtana mille tahansa $ f $: lle. Näin jokaisella on aina $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Ixionin vastaus antaa täydellisen yleistymisen sallimalla $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ olevan mikä tahansa positiivinen funktio.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Ei, hän olettaa jatkuvuuden $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Olen melko varma, että ehtoa ei todellisuudessa tarvita.

Peter 07/28/2017.

Yksinkertainen esimerkki on $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Mielenkiintoisempi ongelma on löytää funktio $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, jonka kuva on $ \ mathbb {R} $ ja täyttää $ f '(x)> f (x) $ kaikki $ x \ in \ mathbb {R} $. Yksi näistä toiminnoista on

$$ \ sinh (x), $$

koska

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ kaikille $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Otetaan $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Tällöin $ \ alpha> 1 $: lle $ f '(x)> f (x) $ ja $ \ alpha <1 $ olemme $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Entä jos tarkastelet sitä differentiaaliyhtälönä. Sanoa

$ y '= y + 1 $

jolla on ratkaisu $ y = Ce ^ x -1 $

Tai $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

jolla on ratkaisu $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Tai $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

jolla on ratkaisu $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Ixionin vastaus yleistää tämän $ y '(x) = y (x) + f (x) $: lle $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - poistanko vastaukseni?
Robin Saunders 07/30/2017
En tiedä paljoakaan Stack Exchange etiketistä, mutta arvaus on, että koska olet lähettänyt vastauksesi ensin ja siinä on esimerkkejä toisesta vastauksesta, kannattaa jättää se.

Eric Towers 07/30/2017.

very yksinkertainen esimerkki on $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Muokattuasi: tämä ei ole ollenkaan eksponentiaalinen.

Muita esimerkkejä, jotka eivät ole välittömästi eksponentiaalisia:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ on kaikkialla negatiivisia ja kaikkialla tarkasti monotonisesti kasvavia, joten se on kaikkialla pienempi kuin sen johdannainen.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ on myös kaikkialla negatiivisia ja kaikkialla yksinomaan monotonisesti kasvavia. (Nämä ovat hyvin samankaltaisia, koska ne siirretään kopioita Cauchy- ja Gauss-jakauman CDF: istä (standardi / normalisoitu).
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ oikea) $ on hyperbolan alahaara, jolla on $ x $ -axi ja rivi $ y = x $ as asymptoottia. Se on kaikkialla negatiivisia ja kaikkialla tiukasti monotonisesti kasvussa.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Katso, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Yleisemmin kaikki negatiiviset toiminnot positiivisella johdannaisella ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Toinen yksinkertainen esimerkki olisi $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Erotus $$ f '(x)> f (x) $$ vastaa $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ oikealle]'> 0. $$

Niinpä yleinen ratkaisu on toteuttaa differentiable function $ g (x) $ $ g '(x)> 0 $ ja laittaa $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Huomaa, että mikään ei ole oletettu noin $ f $: sta lukuunottamatta eriarvoisuutta, joka on välttämätön kysymyksen esittämiseksi.


HelloGoodbye 07/30/2017.

$ F $ ($) $ f $ ($) $ ($) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ joten $ c $ on $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. (X) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ tai $ g '(x )> g (x) \ \ forall \ x $.

Tämä pätee esimerkiksi moniin erilaisiin jaksoittaisiin toimintoihin.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Viimeinen toteamus on väärä, koska ei jokainen differentiable periodinen funktio ole rajoittanut johdannaista.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Olet oikeassa. Tarkastelin säännöllisiä funktioita, jotka olivat differentiableia jokaisessa $ \ mathbb {R} $ -paikassa, mutta ymmärrän, että jonkin funktion täytyy vain olla differentiable kaikissa sen verkkotunnuksen pisteissä, jotta sitä voidaan pitää differentiableina. Olen päivittänyt vastaukseni.
Adayah 07/30/2017
Tarkoitan, että funktio $ f: \ mathbb {R} \ mathbb {R} $ voi olla jaksollinen ja differentiable jokaisessa pisteessä $ a \ in \ mathbb {R} $ ja sillä on edelleen rajoittamaton johdannainen.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Onko sinulla esimerkkiä tällaisesta toiminnosta?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah tarkoitan, että jos funktio $ f $ on eriytettävä kaikkialle, sen johdannaisen $ f '$ täytyy olla olemassa kaikkialla, ja $ f' $ täytyy olla jatkuvana (koska jos se sisältää epäjatkuvuutta, $ f '$ ei voi olla siinä vaiheessa ). Tämä tekee mahdottomaksi, että $ f '$ on rajoittamaton, eikö?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike vastaa kysymykseesi "Onko olemassa fyysisiä esimerkkejä tästä?" on käytössä dromastyx.

Hänen esimerkillään on hyperbolisia toimintoja, jotka kuvaavat tarkasti "solitoneja" fyysistä ilmiötä.

Solitonit ovat yksinäisiä aaltoja, kuten auringonpaisteita, tsunameja jne. Esimerkki sellaisten aaltojen löytämisestä, jotka on piilotettu tunnetuissa yhtälöissä, ovat:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags